Kas ir Eilera formula?

18. gadsimta Šveices matemātiķis Leonhards Eilers izstrādāja divus vienādojumus, kurus sāka saukt par Eilera formulu. Viens no šiem vienādojumiem attiecas uz daudzskaldņa virsotņu, skaldņu un malu skaitu. Otra formula saista piecas visbiežāk sastopamās matemātiskās konstantes. Šie divi vienādojumi ierindojās attiecīgi otrajā un pirmajā vietā kā elegantākie matemātiskie rezultāti saskaņā ar “The Mathematical Intelligencer”.

Eilera daudzskaldņu formulu dažreiz sauc arī par Eilera-Dekarta teorēmu. Tajā teikts, ka daudzskaldņa skalu skaits, plus virsotņu skaits, mīnus malu skaits, vienmēr ir vienāds ar diviem. To raksta kā F + V – E = 2. Piemēram, kubam ir sešas skaldnes, astoņas virsotnes un 12 malas. Ieslēdzot Eilera formulu, 6 + 8 – 12 faktiski ir vienādi ar diviem.

Šai formulai ir izņēmumi, jo tā attiecas tikai uz daudzskaldni, kas pats nekrustojas. Labi zināmas ģeometriskas formas, tostarp sfēras, kubi, tetraedri un astoņstūri, ir daudzskaldņi, kas nekrustojas. Tomēr krustojošs daudzskaldnis tiktu izveidots, ja kāds savienotu divas no nekrustojama daudzskaldņa virsotnēm. Tā rezultātā daudzskaldnim būtu vienāds skalu un malu skaits, bet par vienu virsotņu mazāk, tāpēc ir skaidrs, ka formula vairs nav patiesa.

No otras puses, Eilera formulas vispārīgāku versiju var piemērot daudzskaldņiem, kas krustojas paši. Šo formulu bieži izmanto topoloģijā, kas ir telpisko īpašību izpēte. Šajā formulas versijā F + V – E ir vienāds ar skaitli, ko sauc par Eilera raksturlielumu, ko bieži simbolizē grieķu burts chi. Piemēram, gan virtuļa formas torum, gan Mobiusa sloksnei Eilera raksturlielums ir nulle. Eilera raksturlielums var būt arī mazāks par nulli.

Otrajā Eilera formulā ir iekļautas matemātiskās konstantes e, i, Π, 1 un 0. E, ko bieži sauc par Eilera skaitli un ir iracionāls skaitlis, kas noapaļo līdz 2.72. Iedomātais skaitlis i tiek definēts kā kvadrātsakne no -1. Pi (Π), attiecība starp apļa diametru un apkārtmēru, ir aptuveni 3.14, bet, tāpat kā e, ir iracionāls skaitlis.

Šī formula ir uzrakstīta kā e(i*Π) + 1 = 0. Eilers atklāja, ka, ja Π trigonometriskajā identitātē e(i*Π) = cos(x) + i*sin(x) ir aizstāts ar x, rezultāts bija tā, ko mēs tagad zinām kā Eilera formulu. Papildus šo piecu pamata konstantu saistīšanai formula arī parāda, ka iracionāla skaitļa palielināšana līdz iedomāta iracionāla skaitļa pakāpei var iegūt reālu skaitli.