Matricas ir matemātiski objekti, kas pārveido formas. Kvadrātveida matricas A determinants, apzīmēts |A|, ir skaitlis, kas apkopo A ietekmi uz figūras izmēru un orientāciju. Ja [ab] ir A augšējās rindas vektors un [cd] ir tā apakšējās rindas vektors, tad |A| = ad-bc.
Determinants kodē noderīgu informāciju par to, kā matrica pārveido reģionus. Determinanta absolūtā vērtība norāda matricas mēroga koeficientu, cik daudz tā izstiepj vai samazina figūru. Tās zīme norāda, vai matrica apgriež figūras, iegūstot spoguļattēlu. Matricas var arī novirzīt reģionus un tos pagriezt, taču determinants šo informāciju nesniedz.
Aritmētiski matricas transformācijas darbību nosaka matricas reizināšana. Ja A ir 2 × 2 matrica ar augšējo rindu [ab] un apakšējo rindu [cd], tad [1 0] * A = [ab] un [0 1] * A = [cd]. Tas nozīmē, ka A aizved punktu (1,0) uz punktu (a,b) un punktu (0,1) uz punktu (c,d). Visas matricas atstāj izcelsmi nepārvietotu, tāpēc redzams, ka A pārveido trīsstūri ar beigu punktiem (0,0), (0,1) un (1,0) uz citu trīsstūri ar galapunktiem (0,0), (a ,b) un (c,d). Šī jaunā trīsstūra laukuma attiecība pret sākotnējā trīsstūra laukumu ir vienāda ar |ad-bc|, |A| absolūto vērtību.
Matricas determinanta zīme raksturo, vai matrica apgriež formu. Ņemot vērā trijstūri ar beigu punktiem (0,0), (0,1) un (1,0), ja matrica A notur punktu (0,1) nekustīgu, vienlaikus aizvedot punktu (1,0) uz punktu. (-1,0), tad tas ir apgriezis trijstūri pāri taisnei x = 0. Tā kā A ir apgriezis skaitli otrādi, |A| būs negatīvs. Matrica nemaina reģiona lielumu, tāpēc |A| jābūt -1, lai atbilstu likumam, ka |A| absolūtā vērtība apraksta, cik daudz A izstiepj figūru.
Matricas aritmētika seko asociatīvajam likumam, kas nozīmē, ka (v*A)*B = v*(A*B). Ģeometriski tas nozīmē, ka kombinētā darbība, vispirms transformējot formu ar matricu A un pēc tam pārveidojot formu ar matricu B, ir līdzvērtīga sākotnējās formas pārveidošanai ar reizinājumu (A*B). No šī novērojuma var secināt, ka |A|*|B| = |A*B|.
Vienādojums |A| * |B| = |A*B| ir svarīgas sekas, ja |A| = 0. Tādā gadījumā A darbību nevar atsaukt kāda cita matrica B. To var secināt, atzīmējot, ka, ja A un B būtu apgriezti, tad (A*B) nevienu apgabalu neizstiepj un nepārvērš, tāpēc |A* B| = 1. Kopš |A| * |B| = |A*B|, šis pēdējais novērojums noved pie neiespējamā vienādojuma 0 * |B| = 1.
Var parādīt arī apgriezto apgalvojumu: ja A ir kvadrātveida matrica ar determinantu, kas nav nulle, tad A ir apgriezts. Ģeometriski tā ir jebkuras matricas darbība, kas nesaplacina reģionu. Piemēram, kvadrāta sašķelšanu līnijas segmentā var atsaukt ar kādu citu matricu, ko sauc par tās apgriezto. Šāds inverss ir reciprokāla matricas analogs.