Coset ir noteikta veida matemātiskās grupas apakškopa. Piemēram, var apsvērt visu 7, {… -14, -7, 0, 7, 14 …} integrālo reizinājumu kopu, ko var apzīmēt kā 7Z. Katram skaitlim pievienojot 3, tiek ģenerēta kopa {… -11, -4, 3, 10, 17 …}, ko matemātiķi apraksta kā 7Z + 3. Šo pēdējo kopu sauc par 7Z kosetu, ko ģenerē 3.
Ir divas svarīgas 7Z īpašības. Ja skaitlis ir reizināts ar 7, tad arī tā aditīvā apgrieztā vērtība. Piedevas apgrieztais 7 ir -7, piedevas apgrieztais 14 ir -14 utt. Turklāt, pievienojot 7 reizinātāju citam 7 reizinājumam, tiek iegūts 7 reizinājums. Matemātiķi to apraksta, sakot, ka skaitļa 7 reizinātāji ir “slēgti” saskaitīšanas darbības laikā.
Šo divu raksturlielumu dēļ 7Z sauc par saskaitāmo veselo skaitļu apakšgrupu. Tikai apakšgrupām ir kosetes. Visu kubisko skaitļu kopai {… -27, -8, -1, 0, 1, 8, 27 …} nav kosetu tāpat kā 7Z, jo tā nav aizvērta saskaitīšanas laikā: 1 + 8 = 9 un 9 nav kubikskaitlis. Tāpat visu pozitīvo pāra skaitļu kopai {2, 4, 6, …} nav kosetu, jo tajā nav apgriezto skaitļu.
Šo noteikumu iemesls ir tāds, ka katram numuram ir jābūt tieši vienā kastītē. Gadījumā, ja {2, 4, 6, …}, 6 ir kosetā, ko ģenerē 4, un ir kosetā, ko ģenerē 2, taču šīs divas kosetas nav identiskas. Šie divi kritēriji ir pietiekami, lai nodrošinātu, ka katrs elements ir tieši vienā komplektā.
Cosets pastāv jebkurā grupā, un dažas grupas ir daudz sarežģītākas nekā veseli skaitļi. Noderīga grupa, ko varētu apsvērt, ir visu veidu kopums, kā pārvietot kvadrātu, nemainot tā aptverto reģionu. Ja kvadrāts ir pagriezts par 90 grādiem, formā nav redzamu izmaiņu. Līdzīgi to var pagriezt vertikāli, horizontāli vai pa diagonāli, nemainot kvadrāta pārklājuma reģionu. Matemātiķi šo grupu sauc par D4.
D4 ir astoņi elementi. Divi elementi tiek uzskatīti par identiskiem, ja tie atstāj visus stūrus vienā vietā, tāpēc kvadrāta pagriešana pulksteņrādītāja virzienā četras reizes tiek uzskatīta par to pašu, kas nedarīt neko. Paturot to prātā, astoņus elementus var apzīmēt ar e, r, r2, r3, v, h, dd un dd. “e” norāda uz nekā nedarīšanu, un “r2” apzīmē divu apgriezienu veikšanu. Katrs no pēdējiem četriem elementiem attiecas uz kvadrāta apvēršanu: vertikāli, horizontāli vai gar tā augšup vai lejup vērstajām diagonālēm.
Veselie skaitļi ir Ābela grupa, kas nozīmē, ka tās darbība atbilst komutatīvajam likumam: 3 + 2 = 2 + 3. D4 nav Ābela grupa. Pagriežot kvadrātu un pēc tam apgriežot to horizontāli, stūri netiek pārvietoti tāpat kā to apgriežot un pēc tam pagriežot.
Strādājot nekomutatīvās grupās, matemātiķi parasti izmanto *, lai aprakstītu darbību. Neliels darbs parāda, ka kvadrāta pagriešana un pēc tam horizontāla apvēršana (r * h) ir tas pats, kas apvērst to pa lejupejošo diagonāli. Tādējādi r * h = dd. Kvadrāta apvēršana un pēc tam tā pagriešana ir līdzvērtīga tā apvēršanai pa diagonāli uz augšu, tātad r * h = du.
Pasūtījuma nozīme ir D4, tāpēc, aprakstot kostīmus, jābūt precīzākam. Strādājot ar veseliem skaitļiem, frāze “7Z kosets, ko ģenerē ar 3”, ir nepārprotama, jo nav nozīmes tam, vai 3 tiek pievienots pa kreisi vai pa labi no katra skaitļa 7 daudzkārtņa. Tomēr D4 apakšgrupai būs dažādas kārtas. izveidot dažādas kostīmi. Pamatojoties uz iepriekš aprakstītajiem aprēķiniem, r*H, kreisā H kosete, ko ģenerē r — vienāds ar {r, dd}, bet H*r ir vienāds ar (r, du}. Prasība, ka nevienam elementam nedrīkst būt divās dažādās kosetās, nav spēkā. ja salīdzina labās puses kosetes ar kreiso kosete.
H labās kosetes nesakrīt ar tās kreisajām kosetām. Ne visas D4 apakšgrupas koplieto šo īpašumu. Var uzskatīt visu kvadrāta rotāciju apakšgrupu R, R={e, r, r2, r3}.
Neliels aprēķins parāda, ka tā kreisās kosetes ir tādas pašas kā labās. Šādu apakšgrupu sauc par parasto apakšgrupu. Parastās apakšgrupas ir ārkārtīgi svarīgas abstraktajā algebrā, jo tās vienmēr kodē papildu informāciju. Piemēram, divas iespējamās R kosetes ir vienādas ar divām iespējamām situācijām “laukums ir apgriezts” un “kvadrāts nav apgriezts”.