Matemātikā kompleksais konjugāts ir divkomponentu skaitļu pāris, ko sauc par kompleksajiem skaitļiem. Katram no šiem kompleksajiem skaitļiem ir reālā skaitļa komponents, kas pievienots iedomātajam komponentam. Lai gan to vērtība ir vienāda, viena iedomātā komponenta zīme komplekso konjugēto skaitļu pārī ir pretēja otra zīmei. Neskatoties uz to, ka tiem ir iedomāti komponenti, sarežģīti konjugāti tiek izmantoti, lai aprakstītu fizisko realitāti. Sarežģītu konjugātu izmantošana darbojas, neskatoties uz iedomātu komponentu klātbūtni, jo, reizinot abus komponentus kopā, rezultāts ir reāls skaitlis.
Iedomātie skaitļi tiek definēti kā jebkuri skaitļi, kuru kvadrātā tiek iegūts reāls negatīvs skaitlis. Vienkāršības labad to var formulēt citos noteikumos. Iedomāts skaitlis ir jebkurš reāls skaitlis, kas reizināts ar kvadrātsakni no negatīvā (-1) — pats par sevi nav saprotams. Šajā formā komplekss konjugāts ir skaitļu pāris, ko var uzrakstīt, y=a+bi un y=a–bi, kur “i” ir kvadrātsakne no -1. Formālistiski, lai atšķirtu divas y vērtības, vienu parasti raksta ar joslu virs burta ӯ, lai gan dažreiz tiek izmantota zvaigznīte.
Demonstrējot, ka divu kompleksu konjugētu skaitļu reizināšana rada reālu rezultātu, apsveriet piemēru y=7+2i un ӯ=7–2i. Reizinot šos divus, iegūst yӯ=49+14i–14i–4i2=49+4=53. Šāds reāls rezultāts no sarežģītas konjugāta reizināšanas ir svarīgs, jo īpaši, ņemot vērā sistēmas atomu un subatomu līmenī. Bieži vien matemātiskās izteiksmes mazām fiziskām sistēmām ietver iedomātu komponentu. Disciplīna, kurā tas ir īpaši svarīgi, ir kvantu mehānika, ļoti mazo neklasiskā fizika.
Kvantu mehānikā fiziskas sistēmas, kas sastāv no daļiņas, īpašības apraksta ar viļņu vienādojumu. Visu, kas jāapgūst par daļiņu tās sistēmā, var atklāt ar šiem vienādojumiem. Bieži vien viļņu vienādojumos ir iedomāts komponents. Reizinot vienādojumu ar tā sarežģīto konjugātu, tiek iegūts fiziski interpretējams “varbūtības blīvums”. Daļiņas raksturlielumus var noteikt, matemātiski manipulējot ar šo varbūtības blīvumu.
Piemēram, varbūtības blīvuma izmantošana ir svarīga atomu starojuma diskrētajā spektrālajā emisijā. Šādu varbūtības blīvuma pielietojumu sauc par “dzimšanas varbūtību” vācu fiziķa Maksa Borna vārdā. Svarīgo, cieši saistīto statistisko interpretāciju, ka kvantu sistēmas mērījumi dos noteiktus konkrētus rezultātus, sauc par Borna likumu. Makss Borns par darbu šajā jomā saņēma 1954. gada Nobela prēmiju fizikā. Diemžēl mēģinājumi atvasināt Borna likumu no citiem matemātiskiem atvasinājumiem ir bijuši dažādi.