Kas ir kanoniskā forma?

Racionālajiem skaitļiem kanoniskā forma ir a/b, kur a un b nav kopīgu faktoru un b ir pozitīvs. Šāda daļa parasti tiek raksturota kā “zemākā daļa”. Ievietojot kanoniskā formā, 2/6 kļūst par 1/3. Ja divām daļām ir vienāda vērtība, to kanoniskie attēlojumi ir identiski.

Kanoniskās formas ne vienmēr ir visizplatītākais matemātiskā objekta apzīmēšanas veids. Divdimensiju lineārajiem vienādojumiem ir kanoniskā forma Ax + By + C = 0, kur C ir 1 vai 0. Tomēr matemātiķi, veicot pamata aprēķinus, bieži izmanto slīpuma pārtveršanas formu — y = mx + b. Slīpuma pārtveršanas forma nav kanoniska; to nevar izmantot, lai aprakstītu līniju x = 4.

Matemātiķi uzskata, ka kanoniskās formas ir īpaši noderīgas, analizējot abstraktās sistēmas, kurās divi objekti varētu šķist ievērojami atšķirīgi, bet matemātiski līdzvērtīgi. Visu slēgto ceļu kopai virtulītē ir tāda pati matemātiskā struktūra kā visu sakārtoto veselo skaitļu pāru kopai (a, b). Matemātiķis var viegli redzēt šo savienojumu, ja viņš izmanto kanoniskās formas, lai aprakstītu abas kopas. Abām kopām ir vienāds kanoniskais attēlojums, tāpēc tās ir līdzvērtīgas. Lai atbildētu uz topoloģisko jautājumu par virtuļa līknēm, matemātiķim varētu būt vieglāk atbildēt uz līdzvērtīgu algebrisku jautājumu par sakārtotiem veselu skaitļu pāriem.

Daudzās studiju jomās sistēmu aprakstīšanai izmanto matricas. Matricu nosaka tās atsevišķie ieraksti, taču šie ieraksti bieži nenorāda matricas raksturu. Kanoniskās formas palīdz matemātiķiem uzzināt, kad divas matricas ir kaut kādā veidā saistītas, kas citādi varētu nebūt acīmredzamas.

Būla algebrām, struktūrai, ko loģiķi izmanto, aprakstot priekšlikumus, ir divas kanoniskās formas: disjunktīvā normālā forma un konjunktīvā normālā forma. Tie ir algebriski līdzvērtīgi polinomu faktorēšanai vai paplašināšanai. Īss piemērs ilustrē šo savienojumu.

Vidusskolas direktors varētu teikt: “Futbola komandai ir jāuzvar viena no pirmajām divām spēlēm un jāuzvar mūsu sāncenši Hornets trešajā spēlē, pretējā gadījumā treneris tiks atlaists.” Šo apgalvojumu var loģiski uzrakstīt kā (w1 + w2) * H + F, kur “+” ir loģiskā darbība “vai” un “*” ir loģiskā darbība “un”. Šīs izteiksmes disjunktīvā normālforma ir w1 *H + w2 *H + F. Tās konjunktīvā normālā forma ir (w1 + w2 + F) * (H + F). Visas trīs šīs izteiksmes ir patiesas tieši tādos pašos apstākļos, tāpēc tās ir loģiski līdzvērtīgas.

Inženieri un fiziķi, apsverot fiziskās sistēmas, izmanto arī kanoniskās formas. Dažreiz viena sistēma ir matemātiski līdzīga citai sistēmai, lai gan šķiet, ka tās nav līdzīgas. Diferenciālās matricas vienādojumi, kas tiek izmantoti, lai modelētu vienu, varētu būt identiski tiem, ko izmanto, lai modelētu otru. Šīs līdzības kļūst acīmredzamas, kad sistēmas tiek nodotas kanoniskā formā, piemēram, novērojamā kanoniskā formā vai kontrolējamā kanoniskā formā.