Kronekera delta funkcija, ko apzīmē ar δi,j, ir bināra funkcija, kas ir vienāda ar 1, ja i un j ir vienādi, un vienāda ar 0 pretējā gadījumā. Lai gan tehniski tā ir divu mainīgo funkcija, praksē to izmanto kā apzīmējumu saīsinājumu, kas ļauj kompakti uzrakstīt sarežģītus matemātiskos apgalvojumus. Matemātiķi, fiziķi un inženieri, kas strādā lineārās algebras, tenzoru analīzes un digitālo signālu apstrādes jomā, izmanto Kronecker delta funkciju kā līdzekli, lai vienā vienādojumā nodotu to, kas citādi varētu aizņemt vairākas teksta rindiņas.
Šo funkciju visbiežāk izmanto, lai vienkāršotu vienādojumu rakstīšanu, kas ietver sigma apzīmējumu, kas pati par sevi ir kodolīga metode, kā atsaukties uz sarežģītām summām. Piemēram, ja uzņēmumā strādā 30 darbinieki {e1, e2 … e30} un katrs darbinieks strādā atšķirīgu stundu skaitu {h1, h2 … h30} ar atšķirīgu stundas likmi {r1, r2 … r30}, kopējā samaksātā nauda šiem darbiniekiem par viņu darbu ir vienāds ar e1*h1*r1 + e2*h2*r2 + e3*h3*r3 + … e30*h30*r30. Matemātiķi to var īsi uzrakstīt kā ∑i ei*hi*ri.
Aprakstot fiziskas sistēmas, kas ietver vairākas dimensijas, fiziķiem bieži ir jāizmanto dubultsummēšana. Praktiski zinātniskie pielietojumi ir ļoti sarežģīti, taču konkrēts piemērs parāda, kā Kronecker delta funkcija var vienkāršot izteiksmes šādos gadījumos.
Tirdzniecības centrā ir trīs apģērbu veikali, no kuriem katrs pārdod citu zīmolu. Pavisam pieejami 20 stilu krekli: astoņus piedāvā 1. veikals, septiņus 2. veikalā un piecus 3. veikalā. Pieejami divpadsmit stilu bikses: pieci 1. veikalā, trīs 2. veikalā un četri 3. veikalā. Var iegādāties 240 iespējamos tērpus, jo ir 20 varianti kreklam un 12 varianti biksēm. Katra kombinācija rada atšķirīgu apģērbu.
Nav tik vienkārši aprēķināt veidus, kā izvēlēties apģērbu, kurā krekls un bikses ir no dažādiem veikaliem. Var izvēlēties kreklu no 1. veikala un bikses no 2. veikala 8*3 veidos. Ir 8*4 veidi, kā izvēlēties kreklu no 1. veikala un bikses no 3. veikala. Tā turpinot, redzams, ka kopējais tērpu skaits, izmantojot dažādu veikalu izstrādājumus, ir 8*3 + 8*4 + 7*5 + 7 *4 + 5*5 + 5*3 = 199.
Kreklu un bikšu pieejamību varētu uzskatīt par divām secībām: {s1, s2, s3} = {8, 7, 5} un {p1, p2, p3} = {5, 3, 4}. Tad Kronecker delta funkcija ļauj šo summu vienkārši uzrakstīt kā ∑i ∑jsi * pj * (1- δi,j). Termins (1- δi,j) izslēdz tos tērpus, kas sastāv no krekla un biksēm, kas iegādāti tajā pašā veikalā, jo tādā gadījumā i = j, tātad δi,j = 1 un (1- δi,j) = 0. Termiņu reizinot ar 0 noņem to no summas.
Kronecker delta funkcija visbiežāk tiek izmantota, analizējot daudzdimensiju telpas, taču to var izmantot arī, pētot viendimensijas telpas, piemēram, reālo skaitļu līniju. Tādā gadījumā bieži tiek izmantots vienas ievades variants: δ(n) = 1, ja n = 0; δ(n) = 0 pretējā gadījumā. Lai redzētu, kā Kronecker delta funkciju var izmantot, lai vienkāršotu sarežģītus matemātiskos apgalvojumus par reālajiem skaitļiem, var apsvērt šādas divas funkcijas, kuru ievade ir vienkāršotas daļskaitļi:
f(a/b) = a, ja a =b+1, f(a/b) = -b, ja b=a+1, un f(a/b) = 0 pretējā gadījumā.g(a/b) = a *δ(ab-1) –b*δ(a-b+1)
Funkcijas f un g ir identiskas, taču g definīcija ir kompaktāka un neprasa angļu valodu, tāpēc to var saprast jebkurš matemātiķis pasaulē.
Kā parādīts šajos piemēros, Kronecker delta funkcijas ievades parasti ir veseli skaitļi, kas ir saistīti ar kādu vērtību secību. Diraka delta sadalījums ir nepārtraukts Kronecker delta funkcijas analogs, ko izmanto funkciju integrēšanai, nevis secību summēšanai.