Kas ir topoloģija?

Topoloģiskajā kartē var būt punkti, kas kopā veido ģeometrisku formu, piemēram, trīsstūri. Šī punktu kolekcija tiek uzskatīta par telpu, kas paliek nemainīga; tomēr, lai kā tas būtu savīts vai izstiepts, kā punkti uz gumijas loksnes, tas paliktu nemainīgs neatkarīgi no tā, kādā formā tas bija. Šāda veida matemātikas konceptuālo sistēmu bieži izmanto jomās, kur bieži notiek liela vai maza mēroga deformācijas, piemēram, gravitācijas akas kosmosā, daļiņu fizikas analīze subatomu līmenī un bioloģisko struktūru, piemēram, proteīnu formas maiņa.

Topoloģijas ģeometrija neattiecas uz telpu lielumu, tāpēc kuba virsmas laukumam ir tāda pati topoloģija kā sfērai, jo cilvēks var iedomāties, ka tās tiek savītas, lai pārietu no vienas formas uz otru. Šādas formas, kurām ir identiskas iezīmes, sauc par homeomorfām. Divu topoloģisko formu, kas nav homeomorfas vai kuras nevar mainīt, lai tās līdzinātos viena otrai, piemērs ir sfēra un torus vai virtuļa forma.

Noteikto telpu galveno telpisko īpašību atklāšana ir topoloģijas galvenais mērķis. Bāzes līmeņa kopas topoloģiskā karte tiek saukta par Eiklīda telpu kopu. Telpas tiek iedalītas kategorijās pēc to dimensiju skaita, kur līnija ir telpa vienā dimensijā, bet plakne – telpa divās. Telpu, ko piedzīvo cilvēki, sauc par trīsdimensiju eiklīda telpu. Sarežģītākas telpu kopas tiek sauktas par kolektoriem, kas vietējā līmenī izskatās savādāk nekā lielā mērogā.

Kolektoru kopas un mezglu teorija mēģina izskaidrot virsmas daudzās dimensijās, kas pārsniedz to, kas ir uztverams burtiskā cilvēka līmenī, un telpas ir saistītas ar algebriskiem invariantiem, lai tās klasificētu. Šo homotopijas teorijas procesu jeb attiecības starp identiskām topoloģiskām telpām aizsāka Anrī Puankarē, franču matemātiķis, kurš dzīvoja no 1854. līdz 1912. gadam. Matemātiķi ir pierādījuši Puankarē darbu visās dimensijās, izņemot trīs, kur pilnīgas topoloģiju klasifikācijas shēmas joprojām ir nenotveramas.