Kas ir binomiālie koeficienti?

Matemātiski binomiālie koeficienti tiek rakstīti kā divi skaitļi, kas vertikāli izlīdzināti iekavās. Augšējais skaitlis, ko apzīmē ar “n”, ir kopējais iespēju skaits. Parasti apzīmē ar “r” vai “k”, apakšējais skaitlis ir nesakārtoto rezultātu skaits, kas jāatlasa no “n”. Abi skaitļi ir pozitīvi, un “n” ir lielāks vai vienāds ar “r”.

Binomiālais koeficients jeb to veidu skaits, kā “r” var izvēlēties no “n”, tiek aprēķināts, izmantojot faktoriālus. Faktoriāls ir skaitlis, kas reizināts ar nākamo mazāko skaitli un nākamo mazāko skaitli, un tā tālāk, līdz formula sasniedz vienu. Tas ir matemātiski attēlots kā n! = n(n – 1) (n – 2)…(1). Nulles faktoriāls ir vienāds ar vienu.

Binoma koeficientam formula ir n faktoriāls (n!) dalīts ar (n – r) reizinājumu! reizes r!, ko parasti var samazināt. Ja, piemēram, n ir 5 un r ir 2, formula ir 5!/(5 – 2)!2! = (5*4*3*2*1)/((3*2*1)*(2*1)). Šajā gadījumā 3*2*1 ir gan skaitītājā, gan saucējā, tāpēc to var izņemt no daļskaitļa. Tā rezultātā tiek iegūts (5*4)/(2*1), kas ir vienāds ar 10.

Binoma teorēma ir veids, kā aprēķināt binoma funkcijas izplešanos, kas attēlota ar (a + b)^n — a plus b līdz n-tajai pakāpei; a un b var sastāvēt no mainīgajiem lielumiem, konstantēm vai abiem. Lai paplašinātu binomiālu, pirmais paplašināšanas loceklis ir binoma koeficients n un 0 reizes a^n. Otrais loceklis ir binominālais koeficients n un 1 reize a^(n-1)b. Katrs nākamais izplešanās elements tiek aprēķināts, pievienojot 1 binoma koeficienta apakšējam skaitlim, palielinot a līdz pakāpei n mīnus šis skaitlis un palielinot b līdz šī skaitļa pakāpei, turpinot, līdz koeficienta apakšējais skaitlis ir vienāds. n.

Katrs skaitlis Paskāla trijstūrī ir binominālais koeficients, ko var aprēķināt, izmantojot binomiālo koeficientu formulu. Trīsstūris sākas ar 1 augšējā punktā, un katru skaitli apakšējā rindā var aprēķināt, saskaitot kopā divus ierakstus, kas atrodas pa diagonāli virs tā. Paskāla trijstūrim ir vairākas unikālas matemātiskas īpašības — papildus binominālajiem koeficientiem tajā ir arī Fibonači skaitļi un figurāli skaitļi.