Daudzus vienādojumus var vienkāršot, paplašinot logaritmus. Termins “logaritmu paplašināšana” neattiecas uz logaritmiem, kas paplašinās, bet gan uz procesu, kurā viena matemātiskā izteiksme tiek aizstāta ar citu saskaņā ar īpašiem noteikumiem. Ir trīs šādi noteikumi. Katrs no tiem atbilst noteiktai eksponentu īpašībai, jo logaritma ņemšana ir eksponences funkcionālā apgrieztā vērtība: log3 (9) = 2, jo 32 = 9.
Produktu atdalīšanai tiek izmantots visizplatītākais logaritmu paplašināšanas noteikums. Produkta logaritms ir attiecīgo logaritmu summa: loga(x*y) = loga(x) + loga(y). Šis vienādojums ir iegūts no formulas ax * ay = ax+y. To var attiecināt uz vairākiem faktoriem: loga(x*y*z*w) = loga(x) + loga(y) + loga(z) + loga(w).
Skaitļa palielināšana negatīvā pakāpē ir līdzvērtīga tā apgrieztā koeficienta palielināšanai līdz pozitīvam pakāpei: 5-2 = (1/5)2 = 1/25. Ekvivalentā īpašība logaritmiem ir tāda, ka loga(1/x) = -loga(x). Apvienojot šo īpašību ar reizinājuma noteikumu, tas nodrošina koeficienta logaritma ņemšanas likumu: loga(x/y) = loga(x) – loga(y).
Pēdējais logaritmu paplašināšanas noteikums attiecas uz skaitļa logaritmu, kas palielināts līdz pakāpei. Izmantojot reizinājuma noteikumu, tiek konstatēts, ka loga(x2) = loga(x) + loga(x) = 2*loga(x). Līdzīgi loga(x3) = loga(x) + loga(x) + loga(x) = 3*loga(x). Kopumā loga(xn) = n*loga(x), pat ja n nav vesels skaitlis.
Šos noteikumus var kombinēt, lai paplašinātu sarežģītāka rakstura žurnāla izteiksmes. Piemēram, loga(x2y/z) var piemērot otro noteikumu, iegūstot izteiksmi loga(x2y) – loga(z). Tad pirmo noteikumu var piemērot pirmajam loceklim, iegūstot loga(x2) + loga(y) – loga(z). Visbeidzot, piemērojot trešo noteikumu, tiek iegūta izteiksme 2*loga(x) + loga(y) – loga(z).
Logaritmu paplašināšana ļauj ātri atrisināt daudzus vienādojumus. Piemēram, kāds var atvērt krājkontu ar 400 ASV dolāriem. Ja kontā tiek maksāti 2 procenti gada procenti kopā ar katru mēnesi, mēnešu skaitu, kas nepieciešams, pirms konta vērtība dubultojas, var atrast ar vienādojumu 400*(1 + 0.02/12)m = 800. Dalot ar 400 ienesīgumu (1 + 0.02/ 12)m = 2. Ņemot vērā abu pušu 10 bāzes logaritmu, tiek iegūts vienādojums log10(1 + 0.02/12)m = log10(2).
Šo vienādojumu var vienkāršot, izmantojot jaudas noteikumu līdz m*log10(1 + 0.02/12) = log10(2). Izmantojot kalkulatoru, lai atrastu logaritmus, iegūst m*(0.00072322) = 0.30102. Atrisinot m, var secināt, ka, ja netiks iemaksāta papildu nauda, konta vērtība dubultosies pēc 417 mēnešiem.