Kas ir dabiskais logaritms?

Džons Napiers izstrādāja nosaukumu “logaritms” kā grieķu vārdu logos un arithmos kombināciju. Tulkojumi angļu valodā ir attiecīgi “ratio” un “numbers”. Napier pavadīja 20 gadus, strādājot pie savas logaritmu teorijas un publicēja savu darbu grāmatā Mirifici Logarithmorum canonis descriptio 1614. gadā. Nosaukuma tulkojums angļu valodā ir A Description of the Marvelous Rule of Logathms.

Dabisko logaritmu raksturo kā e bāzes logaritmu, ko dažreiz sauc par Napier konstanti. Šis skaitlis ir pazīstams arī kā Eilera numurs. Burts “e” tiek izmantots, lai godinātu Leonhardu Eileru (1707–1783), un pats Eilers to pirmo reizi izmantoja vēstulē Kristianam Goldbaham 1731. gadā.

Dabiskās eksponenciālās funkcijas apgrieztā vērtība, kas definēta kā f(x) = ex, ir naturālā logaritmiskā funkcija. Šī funkcija ir uzrakstīta kā f(x) = ln(x). Šo pašu funkciju var uzrakstīt kā f(x) = loge(x), bet standarta apzīmējums ir f(x) = ln(x).

Dabiskā logaritma apgabals ir (0, bezgalība), un diapazons ir (-bezgalība, bezgalība). Šīs funkcijas grafiks ir ieliekts, vērsts uz leju. Pati funkcija ir pieaugoša, nepārtraukta un viena pret vienu.

1 naturālais logaritms ir vienāds ar 0. Pieņemot, ka a un b ir pozitīvi skaitļi, tad ln(a*b) ir vienāds ar ln(a) + ln(b) un ln(a/b) = ln(a) – ln(b). Ja a un b ir pozitīvi skaitļi un n ir racionāls skaitlis, tad ln(an) = n*ln(a). Šīs naturālo logaritmu īpašības ir raksturīgas visām logaritmiskajām funkcijām.

Faktisko naturālās logaritmiskās funkcijas definīciju var atrast integrālī 1/t dt. Integrālis ir no 1 līdz x, ja x > 0. Eilera skaitlis e apzīmē pozitīvo reālo skaitli tā, ka integrālis 1/t dt no 1 līdz e ir vienāds ar 1. Eilera skaitlis ir iracionāls skaitlis un ir aptuveni vienāds uz 2.7182818285.

Dabiskās logaritmiskās funkcijas atvasinājums attiecībā pret x ir 1/x. Atvasinājums attiecībā pret x no logaritmiskās funkcijas apgrieztās vērtības, dabiskās eksponenciālās funkcijas, pārsteidzoši atkal ir dabiskā eksponenciālā funkcija. Citiem vārdiem sakot, dabiskā eksponenciālā funkcija ir tās atvasinājums.