Kas ir Mersena pirmskaitlis?

Daudzus gadus tika uzskatīts, ka visi skaitļi formā 2n – 1 ir pirmskaitļi. Tomēr 16. gadsimtā Hudalricus Regius parādīja, ka 211–1 ir 2047 ar koeficientiem 23 un 89. Dažu nākamo gadu laikā tika parādīti vairāki citi pretpiemēri. 17. gadsimta vidū franču mūks Marins Mersenns publicēja grāmatu Cogitata Physica-Mathematica. Šajā grāmatā viņš norādīja, ka 2n – 1 ir pirmskaitlis n vērtībai 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 un 257.

Toreiz bija skaidrs, ka viņš nekādi nevarēja pārbaudīt kāda no augstākajiem skaitļiem patiesumu. Tajā pašā laikā viņa vienaudži arī nevarēja pierādīt vai atspēkot viņa apgalvojumu. Faktiski tikai gadsimtu vēlāk Eilers spēja pierādīt, ka pirmais nepierādītais skaitlis Mersenna sarakstā, 231–1, patiesībā bija galvenais. Gadsimtu vēlāk, 19. gadsimta vidū, tika parādīts, ka arī 2127 – 1 ir galvenais. Neilgi pēc tam tika parādīts, ka arī 261 – 1 bija galvenais, kas liecina, ka Mersenne savā sarakstā ir palaidis garām vismaz vienu skaitli. 20. gadsimta sākumā tika pievienoti vēl divi skaitļi, kurus viņš bija palaidis garām, — 289 — 1 un 2107 — 1. Līdz ar datoru parādīšanos kļuva daudz vieglāk pārbaudīt, vai skaitļi ir pirmskaitļi, un līdz 1947. gadam viss Mersenna oriģinālā Mersenna diapazons. pirmskaitļi tika pārbaudīti. Galīgajā sarakstā viņa sarakstam tika pievienoti 61, 89 un 107, un izrādījās, ka 257 patiesībā nebija galvenais.

Tomēr viņa vārds tika dots šim skaitļu kopumam par viņa svarīgo darbu, lai izveidotu pamatu vēlākiem matemātiķiem, no kuriem strādāt. Ja skaitlis 2n – 1 patiesībā ir pirmskaitļi, tiek uzskatīts, ka tas ir viens no Mersena pirmskaitļiem.

Mersena pirmskaitļam ir arī saistība ar tā dēvētajiem ideālajiem skaitļiem. Perfektiem skaitļiem tūkstošiem gadu ir bijusi nozīmīga vieta uz skaitļiem balstītā mistikā. Perfekts skaitlis ir skaitlis n, kas ir vienāds ar tā dalītāju summu, neskaitot sevi. Piemēram, skaitlis 6 ir ideāls skaitlis, jo tam ir dalītāji 1, 2 un 3, un arī 1+2+3 ir vienāds ar 6. Nākamais ideālais skaitlis ir 28 ar dalītājiem 1, 2, 4, 7 un 14. Nākamais lec līdz 496, bet nākamais ir 8128. Katram perfektajam skaitlim ir forma 2n-1(2n – 1), kur 2n – 1 ir arī Mersena pirmskaitlis. Tas nozīmē, ka, meklējot jaunu Mersenna pirmskaitļu, mēs koncentrējamies arī uz jaunu perfektu skaitļu atrašanu.

Tāpat kā daudzi šāda veida skaitļi, jauna Mersenna pirmskaitļa atrašana kļūst arvien grūtāka, jo skaitļi kļūst ievērojami sarežģītāki, un to pārbaudei ir nepieciešama daudz lielāka skaitļošanas jauda. Piemēram, ja desmito Mersenna pirmskaitli 89 var ātri pārbaudīt mājas datorā, divdesmitais 4423 apliks mājas datoru, bet trīsdesmitajam 132049 ir ​​nepieciešama liela skaitļošanas jauda. Četrdesmitajā zināmajā Mersenna pirmskaitlī 20996011 ir vairāk nekā seši miljoni atsevišķu ciparu.

Jauna Mersena pirmskaitļa meklēšana turpinās, jo tiem ir svarīga loma vairākos minējumos un problēmās. Iespējams, vecākais un interesantākais jautājums ir par to, vai pastāv nepāra ideāls skaitlis. Ja tāda pastāvētu, tai būtu jādalās vismaz ar astoņiem pirmskaitļiem, un tai būtu vismaz septiņdesmit pieci pirmskaitļi. Viens no tā galvenajiem dalītājiem būtu lielāks par 1020, tāpēc tas būtu patiesi monumentāls skaitlis. Tomēr, tā kā skaitļošanas jauda turpina pieaugt, katrs jauns Mersenna pirmskaitlis kļūs nedaudz grūtāks, un, iespējams, šīs senās problēmas galu galā tiks atrisinātas.