Kas ir vienmērīga funkcija?

Funkcija ir saistība, kas saista elementus no vienas skaitļu kopas — domēna — ar citas kopas — diapazona — elementiem. Attiecības parasti tiek definētas ar matemātisku vienādojumu, kur, ja vienādojumā tiek ievietots skaitlis no domēna, kā atbilde tiek dota viena vērtība no diapazona. Piemēram, funkcijai f(x) = 3×2 + 1, kad x = 2 ir vērtība, kas atlasīta no domēna, f(x) = f(2) = 13. Ja domēns un diapazons ir abi no reālo skaitļu kopas, tad funkciju var grafiski attēlot, attēlojot katru punktu (x, f(x)), kur x-koordināta ir no funkcijas domēna un y-koordināta ir atbilstošā vērtība no diapazona no funkcijas.

Ar pāra funkcijas jēdzienu ir saistīta nepāra funkcija. Nepāra funkcija ir tāda, kurā apgalvojums f(x) = -f (-x) visām x reālajām vērtībām. Kad tās ir grafiski attēlotas, nepāra funkcijām ir rotācijas simetrija ap sākumu.

Lai gan lielākā daļa funkciju nav ne nepāra, ne pāra, joprojām pastāv bezgalīgs skaits pāra funkciju. Pastāvīgā funkcija f(x) = c, kurā funkcijai ir tikai viena vērtība neatkarīgi no tā, kura domēna vērtība ir atlasīta, ir pāra funkcija. Pakāpju funkcijas f(x) = xn ir pat tik garas, kamēr n ir jebkurš pāra vesels skaitlis. Starp trigonometriskajām funkcijām kosinuss un secants ir pāra funkcijas, tāpat kā atbilstošās hiperboliskās funkcijas f(x) = cosh(x) = (ex + ex)/2 un f(x) = sech(x) = 2/ (bijušais + bijušais).

Jaunas pat funkcijas var izveidot no citām funkcijām, kas ir zināmas kā pāra funkcijas. Pievienojot vai reizinot jebkuras divas pāra funkcijas, tiks izveidota jauna pāra funkcija. Ja pāra funkciju reizina ar konstanti, iegūtā funkcija būs pāra. Pāra funkcijas var izveidot arī no nepāra funkcijām. Ja divas funkcijas, par kurām zināms, ka tās ir nepāra, piemēram, f(x) = x un g(x) = sin(x), tiek reizinātas kopā, iegūtā funkcija, piemēram, h(x) = x sin(x) būs pāra..

Jaunas vienmērīgas funkcijas var izveidot arī ar kompozīciju. Kompozīcijas funkcija, piemēram, h(x) = g(f(x)), ir tāda, kurā vienas funkcijas izvade — šajā gadījumā f(x) — tiek izmantota kā ievade otrajai funkcijai — g(x)). Ja iekšējā funkcija ir pāra, iegūtā funkcija arī būs pāra neatkarīgi no tā, vai ārējā funkcija ir pāra, nepāra vai neviena no tām. Piemēram, eksponenciālā funkcija g(x) = ex nav ne nepāra, ne pāra funkcija, bet, tā kā kosinuss ir pāra funkcija, tā ir arī jaunā funkcija h(x) = ecos(x).

Viens matemātisks rezultāts apgalvo, ka katru funkciju, kas definēta visiem reālajiem skaitļiem, var izteikt kā pāra un nepāra funkcijas summu. Ja f(x) ir jebkura funkcija, kas definēta visiem reāliem skaitļiem, ir iespējams izveidot divas jaunas funkcijas: g(x) = (f(x) + f(-x))/2 un h(x) = (f (x) – f(-x))/2. No tā izriet, ka g(-x) = (f(-x) + f(x))/2 = (f(x) + f(-x))/2 = g(x) un tāpēc g(x) ir vienmērīga funkcija. Tāpat h(-x) = (f(-x)-f(x))/2 = – (f(x)-f(-x))/2 = -h(x), tātad h(x) ir pēc definīcijas nepāra funkcija. Ja funkcijas saskaita kopā, g(x) + h (x) = (f(x)+f(-x))/2 + (f(x)-f(-x))/2 = 2 f(x) / 2 = f(x). Tāpēc katra funkcija f(x) ir pāra un nepāra funkcijas summa.