Kas ir kompleksie atvasinājumi?

Funkcijas saista vērtības vienā laukā ar vērtībām citā laukā, kas ir darbība, ko sauc par kartēšanu. Ja vienā vai abos laukos ir skaitļi, kas ir daļa no komplekso skaitļu lauka, funkciju sauc par komplekso funkciju. Kompleksie atvasinājumi nāk no sarežģītām funkcijām, taču ne katrai sarežģītajai funkcijai ir sarežģīts atvasinājums.

Vērtību kopās, uz kurām un no kurām tiek kartēta kompleksā funkcija, ir jāietver kompleksie skaitļi. Tās ir vērtības, kuras var attēlot ar a + bi, kur a un b ir reāli skaitļi, un i ir kvadrātsakne no negatīvā, kas ir iedomāts skaitlis. B vērtība var būt nulle, tāpēc visi reālie skaitļi ir arī kompleksie skaitļi.

Atvasinājumi ir funkciju maiņas tempi. Parasti atvasinājums ir vienas ass izmaiņu mērvienības katrai citas ass vienībai. Piemēram, horizontālai līnijai divdimensiju diagrammā būtu nulles atvasinājums, jo katrai x vienībai y vērtība mainās par nulli. Visbiežāk izmantotie momentānie atvasinājumi norāda izmaiņu ātrumu vienā līknes punktā, nevis diapazonā. Šis atvasinājums ir taisnes slīpums, kas pieskaras līknei vajadzīgajā punktā.

Tomēr atvasinājums neeksistē visur katrā funkcijā. Piemēram, ja funkcijai ir stūris, atvasinājums stūrī neeksistē. Tas ir tāpēc, ka atvasinājumu nosaka ierobežojums, un, ja atvasinājums veic lēcienu no vienas vērtības uz citu, tad ierobežojums neeksistē. Tiek uzskatīts, ka funkcija, kurai ir atvasinājumi, ir diferencējama. Viens no nosacījumiem sarežģītu funkciju diferenciācijai ir tāds, ka parciālajiem atvasinājumiem vai katras ass atvasinājumiem attiecīgajā punktā jāpastāv un jābūt nepārtrauktiem.

Sarežģītām funkcijām, kurām ir sarežģīti atvasinājumi, ir jāatbilst arī nosacījumiem, ko sauc par Košī-Riemana funkcijām. Tie prasa, lai kompleksie atvasinājumi būtu vienādi neatkarīgi no funkcijas orientācijas. Ja ir izpildīti funkciju noteiktie nosacījumi un parciālie atvasinājumi ir nepārtraukti, tad funkcija ir kompleksi diferencējama.