Kas ir Puankarē minējums?

20. gadsimta sākumā franču matemātiķis Anrī Puankarē sāka izstrādāt to, kas kalpotu par topoloģijas matemātiskā lauka pamatu. Viens no viņa galvenajiem fokusiem bija uz sfēru īpašībām, un viņš daudz uzmanības un enerģijas veltīja sfēras iezīmēšanai. Viņš uzdeva vairākus jautājumus, bet slavenākais bija formulēts šādi: “Apsveriet kompaktu 3-dimensiju kolektoru V bez robežām. Vai ir iespējams, ka V pamatgrupa varētu būt triviāla, lai gan V nav homeomorfs trīsdimensiju sfērai? Lai gan viņš vienā vai otrā veidā nekad nav sniedzis konkrētu paziņojumu, tas būtu pazīstams kā Puankarē pieņēmums.

Visizplatītākā Puankarē pieņēmuma forma ir vienkārša: katrs vienkārši savienots, slēgts 3-kolektors ir homeomorfs 3-sfērai. Puankarē minējums tika arī vispārināts n-sfēras dimensijām, kas pārsniedz trīs. Lai gan sākotnēji tika uzskatīts, ka Puankarē minējums būs patiess, tika uzskatīts, ka vispārinātie Puankarē minējumi izrādīsies nepatiesi. Tāpēc tas bija pārsteigums, kad 1961. gadā tika pierādīts, ka ģeneralizētais Puankarē minējums izmēriem bija lielāks par četriem, un pēc tam 1982. gadā, kad tika pierādīts, ka 4 sfēru gadījums ir patiess.

1982. gadā Ričards Hamiltons parādīja, ka Puankarē minējums ir patiess vairākos specializētos gadījumos, bet nespēja to pierādīt vispārīgāk. 2000. gadā Māla matemātikas institūts Puankarē pieņēmumu iekļāva savās tūkstošgades balvas problēmās, piedāvājot 1,000,000 2002 2003 ASV dolāru (USD) balvu par risinājumu, kas izrādījās apmierinošs. gadā matemātiķis Grigorijs Perelmans publicēja divus rakstus, kuros izklāstīja Puankarē pieņēmuma pierādījuma skici.

2006. gadā vairākas darba grupas aizpildīja nelielas nejaušas nepilnības Perelmana darbā, un Džons Morgans un Gangs Tians to uzrakstīja kā detalizētu pierādījumu. Viņi galu galā paplašināja to grāmatā par Puankarē pieņēmumiem, un 2006. gadā Morgans paziņoja, ka Perelmans ir atrisinājis problēmu 2003. gadā. Par savu darbu Perelmans tika apbalvots ar Fīldsa medaļu, taču viņš to atteicās. Lai gan viņš tehniski atrisināja arī Tūkstošgades balvu un tāpēc ir tiesīgs saņemt USD 1 miljonu, viņš nav veicis nepieciešamos pasākumus, lai saņemtu balvu.

Puankarē minējumu atrisināšana tika uzskatīta par lielu izrāvienu matemātikā un vienu no svarīgākajiem jaunās tūkstošgades pierādījumiem. 2006. gada beigās žurnāls Science Puankarē minējuma risinājumu nosauca par gada zinātnisko izrāvienu. Šī bija pirmā reize, kad šis gods tika piešķirts par izrāvienu tīrā matemātikā.