Pi ir grieķu alfabēta 16. burts, taču tas ir vislabāk pazīstams kā simbols, ko izmanto, lai nosauktu matemātisko sakarību: attiecība starp apļa apkārtmēru un tā diametru. Kā tāda tā ir matemātiska konstante, un tai ir daudz pielietojumu. Acīmredzot to var izmantot, lai aprēķinātu apļa apkārtmēru no tā diametra un otrādi. Citi piemēri ir formulas, lai atrastu apļa laukumu un sfēras tilpumu. To bieži apzīmē ar burta π grieķu formu, un parasti tam piešķir vērtību 3.14; tomēr tas ir tikai aptuvens rādītājs, un skaitlim ir dažas aizraujošas īpašības.
Vērtība
Precīzu pi vērtību nevar noteikt. Neviena daļa nav tai precīzi līdzvērtīga, un, ja to izsaka kā decimāldaļu, aiz komata ir bezgalīgs skaits ciparu. Tāpēc vienmēr, kad tas ir nepieciešams aprēķiniem, ir jāizmanto tuvinājums. Izmantotā vērtība ir atkarīga no tā, cik precīzam ir jābūt aprēķinam.
Dažiem nolūkiem 3.14 ir pieņemams, savukārt citiem var būt nepieciešama vērtība, kas atbilst, piemēram, astoņām zīmēm aiz komata — 3.14159265. Nevienam aprēķinam nav nepieciešama vērtība, kas ir lielāka par 40 zīmēm aiz komata. Daudzi cilvēki ir izmantojuši datorus, lai veiktu rekordlielus π vērtības aprēķinus; uz 2013. gadu tas ir aprēķināts līdz 10 triljoniem zīmju aiz komata. Tomēr nav iedomājama lietojumprogramma, kurai nepieciešama tik precīza vērtība.
Izmanto
Lai gan pi tiek definēts kā apļa diametrs, matemātiskajās formulās parasti izmanto rādiusu, ko apzīmē ar “r”, lai apļa apkārtmēra formula būtu 2πr vai rādiuss reizināts ar π reiz divi. Citas izplatītas matemātiskās formulas, kurās izmanto π, ir šādas:
apļa laukums — πr2
sfēras virsmas laukums — 4πr2
sfēras tilpums — 4/3πr3
Konstante tiek plaši izmantota arī
fizika
, statistika un
inženierzinātnes
.
Rekvizīti
Pi ir iracionāls skaitlis, kas nozīmē, ka to nevar izteikt kā attiecību vai daļskaitli, kas ietver divus veselus skaitļus, piemēram, 2/5 vai 7/3. Dažas daļskaitļi ir tuvi tuvinājumi, piemēram, 355/113 dod skaitli pareizu līdz 6 cipariem aiz komata; tomēr precīzu vērtību šādā veidā nevar iegūt. Ja neracionāli skaitļi tiek izteikti kā decimālskaitļi, cipari aiz komata veido bezgalīgu, neatkārtotu secību.
Tas ir arī pārpasaulīgs skaitlis, kas nozīmē, ka tas nevar būt sakne vai risinājums jebkuram algebriskam vienādojumam ar racionāliem koeficientiem. Vienādojuma koeficienti ir vienkārši skaitļi, kas ir pirms simboliem; kur nav ciparu prefiksa, koeficients ir 1. Piemēram, vienādojumā 3x + y = 0 x un y koeficienti ir attiecīgi 3 un 1. Fakts, ka pi ir pārpasaulīgs, ir pierādījums tam, ka senā “apļa kvadrāta” problēma — kvadrāta izveidošana ar tādu pašu laukumu kā aplim, izmantojot tikai taisnu malu un kompasu — ir neatrisināma.
Šķiet, ka ciparu secība aiz komata ir nejauša. Ir veikti daudzi mēģinājumi atrast modeļus šajā skaitā, taču visi ir bijuši neveiksmīgi. Nejaušība nav pierādīta, taču uz 2013. gadu secība, cik tā ir aprēķināta, iztur visus pārbaudījumus.
vēsture
Gan senie babilonieši, gan senie ēģiptieši izmantoja aptuvenus π tuvinājumus, aprēķinot vērtības, kas ir nedaudz lielākas par 3.1. Sengrieķu matemātiķis Arhimēds atklāja, ka vērtība ir no 223/71 līdz 22/7. Vācu matemātiķis Johans Lamberts 1770. gadā Pī atzina par neracionālu, un 1882. gadā fiziķis Ferdinands Lindemans parādīja, ka tas ir pārpasaulīgs skaitlis. Pēdējos gados vērtība ir aprēķināta ar arvien lielāku zīmju skaitu aiz komata — šī tendence, šķiet, turpināsies līdz ar skaitļošanas jaudas pieaugumu.
Interesanti fakti par π
Ja ciparu secība aiz komata π ir nejauša, tas nozīmē, ka tā ir arī bezgalīga, ka katrai iedomājamai skaitļu secībai, neatkarīgi no tā, cik gara vai maz ticama, ir jāatrodas kaut kur rindā. Patiesībā katram no tiem ir jāatkārtojas bezgalīgi daudz reižu. Ciparus var izmantot, lai attēlotu citas rakstzīmes, piemēram, alfabēta burtus un pieturzīmes. Tādā veidā katru iedomājamo rakstzīmju secību teorētiski varētu atrast pi ietvaros, meklējot pietiekamā skaitā ciparus. Šajās sekvencēs būtu iekļauti visi Šekspīra darbi, visas zināmās matemātikas mācību grāmatas un šis raksts, kā arī bezgalība vēl neuzrakstītu grāmatu.
Tomēr, lai atrastu kaut ko jēgpilnu, kas pārsniedz tikai dažas rakstzīmes, ir jāaprēķina pi līdz neiedomājamam zīmju skaitam aiz komata, kas ir par daudzām kārtām lielāks nekā pašreizējais ieraksts. Sākot ar 2013. gadu, ikviens, izmantojot vienkāršu tiešsaistes programmu, var meklēt rakstzīmju virknes pirmajos četros miljardos π ciparu. Iespēja atrast noteikta garuma rakstzīmju secību ir viegli aprēķināma. Piemēram, varbūtība atrast noteiktu desmit zīmju secību pi pirmajos četros miljardos ciparu ir 0.0003%.
Pagaidām valodā pi nav atrasts nekas jēgpilns. Tomēr ir sešu secīgu 9 secība, kas sākas ar 762. cipara. Tas ir pazīstams kā Feynman punkts un ir nosaukts fiziķa Ričarda Feinmana vārdā. Tā iespējamība, ka tas notiks tik agrīnā secībā, ir 0.0685%; tomēr tiek uzskatīts, ka tas ir vienkārši dīvains notikums.
Daudziem cilvēkiem ir izdevies iegaumēt π līdz ļoti daudzām zīmēm aiz komata. Uz 2013. gadu rekords tiek uzskatīts par 67,890 14. Datums 3. marts (arī rakstīts 14/XNUMX) ASV ir nosaukts par “Pi dienu”, kurā notiek dažādas ar pī saistītas aktivitātes. Uz šīs konstantes pamata ir radīta mūzika un sarakstīti romāni, kur vārdu garumi ir π cipari pareizā secībā.