Kopu teorija veido lielāko daļu mūsdienu matemātikas pamatu, un tā tika formalizēta 1800. gadu beigās. Kopu teorija apraksta dažas ļoti fundamentālas un intuitīvas idejas par to, kā lietas, ko sauc par “elementiem” vai “dalībniekiem”, iekļaujas grupās. Neskatoties uz šķietamo ideju vienkāršību, kopu teorija ir diezgan stingra. Mēģinot novērst jebkādu patvaļu savās teorijās, matemātiķi gadu gaitā ir iespaidīgā mērā pielāgojuši kopu teoriju.
Kopu teorijā kopa ir jebkura labi definēta elementu vai dalībnieku grupa. Kopas parasti simbolizē ar slīprakstiem lielajiem burtiem, piemēram, A vai B. Ja divās kopās ir vieni un tie paši elementi, tos var parādīt kā līdzvērtīgus ar vienādības zīmi.
Komplekta saturu var aprakstīt vienkāršā angļu valodā: A = visi sauszemes zīdītāji. Saturu var norādīt arī iekavās: A = {lāči, govis, cūkas utt.} Lieliem komplektiem var izmantot elipsi, ja kopas modelis ir acīmredzams. Piemēram, A = {2, 4, 6, 8… 1000}. Viena veida kopai ir nulle dalībnieku, kopu sauc par tukšo kopu. To simbolizē nulle ar diagonālu līniju, kas aug no kreisās uz labo pusi. Lai arī šķietami triviāls, matemātiski tas izrādās diezgan svarīgs.
Dažās kopās ir citas kopas, tāpēc tās tiek apzīmētas kā superkopas. Ietvertās kopas ir apakškopas. Kopu teorijā šīs attiecības tiek sauktas par “iekļautu” vai “ierobežojumu”, ko simbolizē apzīmējums, kas izskatās kā burts U, kas pagriezts par 90 grādiem pa labi. Grafiski to var attēlot kā apli, kas ietverts citā lielākā aplī.
Dažas kopu teorijas kopas ietver N, visu naturālo skaitļu kopu; Z — visu veselo skaitļu kopa; Q, visu racionālo skaitļu kopa; R, visu reālo skaitļu kopa; un C — visu komplekso skaitļu kopa.
Ja divas kopas pārklājas, bet neviena nav pilnībā iegulta otrā, visu sauc par kopu savienību. To apzīmē ar simbolu, kas līdzīgs burtam U, bet nedaudz platāks. Kopas apzīmējumā AUB nozīmē “elementu kopa, kas ir A vai B locekļi”. Apgrieziet šo simbolu otrādi, un jūs iegūsit A un B krustpunktu, kas attiecas uz visiem elementiem, kas ir abu kopu dalībnieki. Kopu teorijā kopas var arī “atņemt” vienu no otras, iegūstot papildinājumus. Piemēram, B – A ir līdzvērtīga elementu kopai, kas ir B, bet nav A dalībnieki.
No iepriekšminētajiem pamatiem lielākā daļa matemātikas ir atvasināta. Gandrīz visās matemātiskajās sistēmās ir īpašības, kuras pamatā var aprakstīt kopu teorijas izteiksmē.